[중3] 인수분해 문제들 02

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2026. 4. 10. 17:11

$x = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$, $y = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$ 일 때, $x^2 - y^2 - 2x + 2y$ 의 값을 구하시오.

$x$ 유리화:
$$x = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}$$
$y$ 유리화:
$$y = \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$$

주어진 식 $x^2 - y^2 - 2x + 2y$에 $x, y$를 바로 대입하면 계산이 매우 복잡해집니다. 따라서 식을 먼저 정리합니다.

앞의 두 항($x^2 - y^2$)은 합차 공식을 적용합니다: $(x-y)(x+y)$
뒤의 두 항($-2x + 2y$)은 $-2$로 묶습니다: $-2(x-y)$
공통인수인 $(x-y)$로 전체를 묶어줍니다:
$$x^2 - y^2 - 2x + 2y = (x-y)(x+y) - 2(x-y) = (x-y)(x+y-2)$$

이제 유리화한 $x, y$ 값을 이용하여 필요한 부분들을 계산합니다.

$x-y$ 계산:
$$(2-\sqrt{3}) - (2+\sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$$
$x+y$ 계산:
$$(2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$$

이제 최종 식 $(x-y)(x+y-2)$에 대입합니다.

$$(-2\sqrt{3}) \times (4 - 2) = (-2\sqrt{3}) \times 2 = -4\sqrt{3}$$

최종 정답

$-4\sqrt{3}$

문제 1. $x = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ 일 때, $x^2 + 2xy + y^2$ 의 값을 구하시오.

유리화: $x = \sqrt{2}-1$, $y = \sqrt{2}+1$
식 변형: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$
계산: $x+y = 2\sqrt{2}$ 이므로, $(2\sqrt{2})^2 = 8$
정답: 8

문제 2. $x = 3 + \sqrt{5}$, $y = 3 - \sqrt{5}$ 일 때, $x^2 - y^2 - 4x + 4y$ 의 값을 구하시오.

식 변형: $(x-y)(x+y) - 4(x-y) = (x-y)(x+y-4)$
계산: * $x-y = (3+\sqrt{5}) - (3-\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$
- $x+y = (3+\sqrt{5}) + (3-\sqrt{5}) = 6$
대입: $2\sqrt{5} \times (6-4) = 2\sqrt{5} \times 2 = 4\sqrt{5}$
정답: $4\sqrt{5}$

문제 3. [유리화와 식의 변형] $x = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, $y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ 일 때, $x^2 - xy + y^2$ 의 값을 구하시오.

유리화:
- $x = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{3-2} = 5+2\sqrt{6}$
- $y = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{3-2} = 5-2\sqrt{6}$
식 변형: $x^2 - xy + y^2 = (x+y)^2 - 3xy$
계산: $x+y = 10$, $xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 25-24 = 1$
대입: $10^2 - 3(1) = 97$
정답: 97