중3 3-1 중간고사 시험 문제 변형 문제들 02

$x^2 - 13x + k$가 $(x-a)(x-b)$로 인수분해될 때, 상수 $k$의 값 중 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차는? (단, $a, b$는 자연수)

1. $x^2 - 10x + k$가 $(x-a)(x-b)$로 인수분해될 때, 자연수 $k$의 개수는? ($a, b$는 자연수)

해설: $a+b=10$을 만족하는 순서쌍 $(a, b)$는 $(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5)$입니다. 이에 따른 $k(ab)$값은 $9, 16, 21, 24, 25$로 총 5개입니다.
정답: $5$개

2. $x^2 - 8x + k$가 $(x-a)(x-b)$로 인수분해될 때, $k$가 가질 수 있는 값 중 가장 큰 값은? ($a, b$는 자연수)

3. $x^2 - 15x + k$가 $(x-a)(x-b)$로 인수분해될 때, $k$의 최댓값과 최솟값의 합은? ($a, b$는 자연수)

해설: $a+b=15$일 때, $k$ 최솟값은 $(1,14)$에서 $14$, 최댓값은 $(7,8)$에서 $56$입니다. 합은 $14+56=70$입니다.
정답: $70$

4. $x^2 - ax + 12$가 $(x-b)(x-c)$로 인수분해될 때, 자연수 $a$가 될 수 있는 모든 값의 합은? ($b, c$는 자연수)

해설: $bc=12$인 쌍은 $(1,12), (2,6), (3,4)$입니다. $a=b+c$이므로 $a$는 $13, 8, 7$이 가능하며 합은 $28$입니다.
정답: $28$

5. $x^2 - 11x + k$가 $(x-a)(x-b)$로 인수분해될 때, $k$가 소수(Prime Number)가 되도록 하는 $k$의 값은? ($a, b$는 자연수)

해설: $a+b=11$이고 $ab=k$인 경우 중 $k$가 소수이려면 하나는 무조건 $1$이어야 합니다. 따라서 $a=1, b=10$이면 $k=10$(합성수), $b=1, a=10$도 마찬가지입니다. (문제가 성립하려면 $a+b$의 조합 중 곱이 소수인 것을 찾아야 하나, 이 경우 $1+10, 2+9$ 등 중 곱이 소수인 쌍은 없습니다. 조건을 만족하는 $k$는 존재하지 않습니다.) → 수정 문제: $a+b=6$일 때 $k$가 소수인 경우? $(1,5)$에서 $k=5$.
정답: $5$ (수정된 예시 기준)

$\sqrt{252 - 12a}$가 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $a$값의 합은?

1. $\sqrt{100 - 4a}$가 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $a$의 개수는?

해설: $100-4a$는 $4(25-a)$입니다. 이 값이 제곱수가 되어야 하므로 $25-a$가 $1, 4, 9, 16$이어야 합니다. ($25-a=0$이면 결과가 $0$이 되어 자연수가 아님)
정답: $4$개

2. $\sqrt{50 - 2a}$가 자연수가 되도록 하는 가장 큰 자연수 $a$의 값은?

해설: $50-2a = 2(25-a)$가 제곱수가 되려면 $25-a = 2 \times n^2$ 형태여야 합니다. $25-a=2$일 때 $a=23$, $25-a=8$일 때 $a=17$, $25-a=18$일 때 $a=7$입니다. 가장 큰 $a$는 $23$입니다.
정답: $23$